Oberoende av väg i komplex tals mening

De komplexa talen är kapabel ses såsom ett utvidgning från dem reella talen. en komplext anförande förmå tecknas vilket

där detta reella talet a existerar realdelen, detta reella talet b existerar imaginärdelen samt i existerar den imaginära enheten tillsammans egenskapen

Om b ≠ 0 således existerar z en icke reellt komplext anförande (till modell 2 + 4i), samt ifall a = 0 kallas talet rent imaginärt (till modell 4i).^[1]

Mängden från komplexa anförande betecknas tillsammans C^[2] alternativt ℂ, samt utgör enstaka lekamen.

Definitioner

[redigera | redigera wikitext]

De inledande matematikerna likt vid 1500-talet började räkna tillsammans med komplexa anförande ansåg för att kvadratrötter ur negativa anförande egentligen ej fanns, utan plats "imaginära" (det önskar yttra "inbillade"), medan dem riktiga talen plats "reella" (alltså "verkliga").

Detta språkbruk lever kvar, trots för att detta sedan länge existerar känt för att komplexa anförande existerar noggrann lika "verkliga" vilket dem reella talen. kvantiteten från komplexa anförande C är kapabel nämligen formellt definieras tillsammans hjälp från enbart reella anförande samt dem vanliga aritmetiska operationerna till dessa. Man definierar då^[3]C såsom kvantiteten R²av strukturerade talpar (a, b), var a samt b tillhör den reella talmängdenR, tillsammans tillsammans operatorerna + samt ·, vilka ges från föreskrifterna

och

.

Definierad vid detta sätt utgör C enstaka (algebraisk) lekamen, inom likhet tillsammans kvantiteten R från reella anförande.

detta innebär för att dem fyra vanliga räknesätten, alltså addition, subtraktion, multiplikation samt division, existerar definierade vid C samt möter dem vanliga reglerna (så för att bland annat addition samt multiplikation existerar associativa samt kommutativa operationer, multiplikation existerar distributiv tillsammans avseende vid addition samt subtraktion, samt subtraktion respektive division kunna ses såsom addition respektive multiplikation tillsammans inversa element).

Till skillnad ifrån dem reella talen saknar dem komplexa talen ett naturlig ordning.

De flesta av de vanliga r¨aknereglerna f ¨or reella tal g ¨aller ¨aven f ¨or komplexa

dem reella talen kunna tänkas strukturerade vid enstaka tallinje, tillsammans med dem mindre talen mot vänster ifall dem större talen. dem komplexa talen får man inom stället tänka sig inom en talplan, var talet (a, b) tolkas vilket punkten tillsammans koordinaterna a samt b.

Dessa koordinater kallas till realdelen respektive imaginärdelen på grund av talet (a, b). Observera särskilt för att både realdelen a samt imaginärdelen b existerar reella anförande.

Det komplexa talplanet kallas även till Arganddiagrammet.

Delmängden från dem komplexa talen från typen (a, 0) motsvarar dem reella talen, således för att (a, 0) kunna "identifieras med" a samt den imaginära enheten i existerar detta komplexa talet (0, 1).

tillsammans med dessa konventioner samt tillsammans definitionerna från multiplikation samt addition ovan, får man

Alla anförande (0, b), detta önskar yttra varenda anförande b⋅i, sägs artikel rent imaginära. dem rent imaginära talen blandas ibland ihop tillsammans "imaginärdelar", dock imaginärdelen från detta rent imaginära talet bi existerar i enlighet med definitionen ovan detta reella talet b.

Definition 1 (Komplexa talområdet) Mängden av tal z = a + ib, där a, b ∈ R, kallas det komplexa talområdet C

Rektangulär form

[redigera | redigera wikitext]

Representationen från en komplext anförande vid formen

kallas rektangulär form.

För

är projektionsfunktionerna definierade liksom

realdelen från z

och

imaginärdelen från z.

Polär form

[redigera | redigera wikitext]

Enligt Eulers formel gäller

vilket innebär för att en allmänt komplext anförande kunna tecknas såsom

där r, absolutbeloppet, existerar avståndet mot origo inom detta komplexa talplanet samt φ existerar vinkeln mellan den reella axeln samt enstaka linje genom origo samt talets punkt inom detta komplexa talplanet.

Vinkeln φ kallas argumentet (arg) på grund av

och bestäms i enlighet med

Intervallet på grund av argumentet existerar (−π, π], vilket kallas principalargumentet, förmå mappas mot [0, 2π) genom för att 2π adderas mot negativa värden. Argumentet är kapabel omfatta samtliga intervall likt existerar ett heltalsmultipel från 2π.

För datorbaserade beräkningar är kapabel detta existera lämpligt för att nyttja funktionen atan2(b, a) ifall denna existerar införd.

Absolutbelopp

[redigera | redigera wikitext]

Absolutbeloppet från en komplext anförande z = a + bi är kapabel inom detta komplexa talplanet tolkas likt avståndet ifrån origo mot punkten (a, b) samt beräknas vilket

eller

För absolutbeloppet gäller

(triangelolikheten)

Konjugat

[redigera | redigera wikitext]

Konjugatet mot en komplext anförande z = a + bi definieras vilket

Ett komplext tals konjugat kunna bildas genom för att spegla dess imaginärdel inom x-axeln:

Om talet existerar självklart vid polär struktur är kapabel konjugatet bildas genom teckenbyte på grund av argumentet:

För konjugatet gäller

De reella samt imaginära delarna är kapabel extraheras tillsammans med hjälp från konjugatet:

Räkneregler

[redigera | redigera wikitext]

Rektangulär form

[redigera | redigera wikitext]

Addition

[redigera | redigera wikitext]

De reella samt dem imaginära delarna adderas fanns till sig.

Subtraktion

[redigera | redigera wikitext]

I jämförelse tillsammans med addition, subtraheras dem reella samt imaginära delarna fanns på grund av sig.

Multiplikation

[redigera | redigera wikitext]

Division

[redigera | redigera wikitext]

Exempel:

Bråket förlängs tillsammans nämnarens konjugat.

Därmed elimineras nämnarens imaginära sektion samt kvoten fås vid formen a + bi.

Komplexa tal kallar vi alla tal som har formen a + bi, där a och b är reella tal

Polär form

[redigera | redigera wikitext]

Låt

Då gäller i enlighet med räknereglerna till exponentiella anförande

Av detta följer

Exempel: angående z skrivs inom polär form eller gestalt såsom

är n:te roten från z

Övrigt

[redigera | redigera wikitext]

För beräkningar utförda på grund av grabb existerar detta lämpligt för att nyttja den rektangulära formen till addition samt subtraktion samt den relaterade till poler eller motsatser formen till multiplikation samt division.

Funktioner från komplexa tal

[redigera | redigera wikitext]

De analytiska funktioner såsom existerar definierade på grund av dem reella talen existerar även definierade på grund av dem komplexa talen. Några från dem existerar entydigt definierade, andra existerar flervärda funktioner.

Exponentialfunktionen

[redigera | redigera wikitext]

Enligt dem kända serieutvecklingarna på grund av reella x från

framgår för att exponentialfunktionen e^z på grund av komplexa z i enlighet med

kan definieras genom följd